2-2 교류가 R, L, C에 가해지면

 

1. 교류와 벡터

 

사인파 교류는 파형이나 식으로 표현할 수 있었지만, 크기와 방향을 갖는 벡터로도 표현할 수 있고, 교류를 취급하는 경우는 매우 편리하다. 그림 1-1은 사인파 교류의 묘사법을 보여 주고 있는데, 같은 그림 (a)에 있어서 𝑬𝒎, 𝑰𝒎과 같이 문자위에 • (도트)를 붙혀서 표현한다.

 

그림 1-1 회전 벡터

 

 

 

일반적으로, 교류의 크기는 실효치가 사용되고 있으므로, 사인파 교류와 회전 벡터와의 사이에 다음과 같은 약속을 한다.

 

벡터의 크기 = 사인파 교류의 실효치

벡터의 편각 = 사인파 교류의 위상각

 

 

그림 1-2 벡터 그림의 예

 

 

예를 들면,

 

​

의 사인파 교류를 벡터로 표현하면

 

 

​

가 된다. 이들 벡터 그림은 그림 2-2과 같이 된다.

 

 

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2. 벡터와 복소수

 

교류는 벡터로 표현할 수 있었으나, X축을 실부, Y축을 허부로 하는 복소수로 표현할 수 있다. 따라서 교류는 복소수로 표시할 수 있다.

 

(a) 복소수의 성질

실수와 허수의 합으로 표현되는 수를 복소수라고 한다.허수라는 것은 √-1, √-2, √-3 과 같은 수로, 허수 중 √-1을 허수 단위라고 하며, j라고 하는 기호로 표현한다. 즉, j = √-1이다. 따라서, j를 사용하면 모든 거기서, 복소수는 2개의 실수 a, b를 사용하여, 다음과 같이 표현된다. a + jb 이 a를 복소수의 실부, b를 허부라고 한다.

 

(b) 벡터와 복소수

그림 2-3와 같이 전류 벡터 𝑰는 직각 좌표의 X축에 실부, Y축에 허부를 눈금으로 하면 복소수와 대응시킬 수 있고, 복소수로 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

 

𝑰=𝑰1 + 𝒋𝑰2

 

 

 

그림 1-3 벡터와 복소수

 

 

그림 1-4 벡터와 j

 

여기에서 벡터 𝑰가 복소수로 표현되는 때도 𝑰와 같이 도트표(•)를 붙여서, 복소수라고 하는 것을 나타낸다. 𝑰의 크기 (절대치) 𝑰와 위상각(편각) θ는 다음과 같이 구하여진다.

 

 

 

​​

이상과 같이 전류 등의 벡터를 복소수로 표현하고, 이것들을 사용해 교류 회로를 계산하는 방법을 기호법이라고 한다. 또한 그림 2-4는 벡터 𝑨에 𝑱나 -𝑱를 곱함으로써, 위상을 90° (𝝿/2 [rad]) 앞서게 하거나, 더디게 할 수 있는 것을 표현하고 있다.

 

 

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3. 저항뿐인 교류회로

 

 

그림 1-5는 저항 𝑹[Ω]에 교류 전압 𝒗[V]를 더한 회로이다. 지금, 교류 전압 𝒗를

​

(1·1)

 

라고 하면, 저항에 흐르는 전류 𝒊𝑹은 옴의 법칙에 따라 다음과 같이 된다.

 

​

(1·2)

 

(1·3)

 

식 (1·1)(1·2)를 파형과 벡터로 표현하면, 그림 1-6, 1-7과 같이 된다.

 

 

그림 1-5 저항만의 회로

 

 

 

 

그림 1-6 전압과 전류의 파형

 

 

 

 

 

그림 1-7 저항 회로의 전압과 전류의 벡터 그림

 

 

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4. 코일뿐인 교류회로

 

 

그림 1-8은 인덕턴스 𝑳[𝐇]를 갖는 코일에 교류 전압 𝒗[V]를 더한 회로이다.

여기에서 코일의 유도 기전력 𝐞𝑳은 다음과 같이 된다.

 

(1·4)

 

그런데, 그림 1-8에서 코일에 교류 전압 𝒗을 더하여

 

(1·5)

 

의 전류를 흐르게 했다고 하면, 유도 기전력 𝒆𝑳은 식 (1·4),(1·5)에서

 

​

여기에서 전원의 전압 𝒗는 유도 기전력 𝒆𝑳과 크기 같고, 방향이 역의 전압이므로

 

​

(1·6)

 

 

식 (1·6)에서 전압과 전류의 실효치는

 

𝑽=ω𝑳𝑰𝑳 [V]

(1·7)

 

또한, ω𝑳 = 𝑿𝑳 로 놓고, 식 (1·7)을 변형하면,

 

(1·8)

 

 

이 된다. 𝑿𝑳 은 교류 전류의 흐름을 방해하는 코일의 작용을 표현하고, 이 𝑿𝑳 을 유도 리액턴스라고 부르며, 단위에는 Ω를 사용한다. 또한, 𝑿𝑳 은 주파수와의 관계를 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

𝑿𝑳 = ω𝑳 = 2𝝿⨍𝑳 [Ω]

(1·9)

 

따라서, 유도 리액턴스 𝑿𝑳은 주파수 f[Hz]에 비례한다.

 

그리고, 식 (1·5),(1·6)에서 교류 전류 𝒊𝑳을 기준으로 한다면, 교류전압 𝒗의 위상은 전류 𝒊𝑳보다 90° 앞선 것을 알 수 있다. 그림 1-9, 1-10은 각 각의 파형과 벡터 그림이다.

 

 

 

그림 1-8 코일뿐인 회로

 

 

 

 

 

그림 1-9 전압과 전류의 파형

 

 

 

 

그림 1-10 코일뿐인 전류와 전압 벡터

 

 

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5. 콘덴서 뿐인 교류 회로

 

그림 1-11은 정전 용량 C[F]를 가진 콘덴서에, 교류 전압 𝒗[V]를 더한 회로이다. 지금 이 그림과 같이 콘덴서에 가하는 전원의 전압을

 

𝒗=√2 V sin ω𝒕 [V]

 

 

로 하면, 콘덴서에 저장되는 전하 𝓺는 𝓺=𝑪𝒗[C]이므로

 

𝓺=√2 CV sin ω𝒕 [V]

(1·10)

 

이 때, 콘덴서에 흐르는 전류 𝒊𝒄는 전하 𝓺의 시간적인 변화의 비율로 정해지고

 

(1·11)

 

가 된다. 식 (1·10),(1·11)에서

 

​

 

(1·12)

 

(1·13)

 

또한, ωC = 1/Xc로 하고 식 (1·13)을 변형하면

 

(1·14)

 

가 된다.

 

Xc는 교류 전류를 방해하는 콘덴서의 작용을 표현하고, 이 Xc를 용량 리액턴스라고 하며, 단위는 Ω를 사용한다. 또한 Xc는 주파수와의 관계를 사용하면, 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

(1·15)

 

이와 같이 용량 리액턴스 Xc는 주파수 f[Hz]에 반비례한다. 그림 1-12, 그림 1-13은 전압, 전류의 파형과 벡터 그림이다.

 

 

 

그림 1-11 콘덴서뿐인 회로

 

 

 

그림 1-12 전압과 전류의 파형

 

 

그림 1-13 콘덴서뿐인 전압과 전류의 벡터 그림